8. Potentialteori

Konservativa fält och potentialer

Vi har definierat ett konservativt fält som ett fält \( \vec{F} \) sådant att $$ \begin{equation} \oint_C \vec{F}\cdot \mbox{d}\vec{r} = 0 \label{_auto1} \end{equation} $$ för varje sluten kurva \( C \). Enligt Stokes sats följer det nu att ett fält som har \( \vnabla \times \vec{F} = 0 \) överallt i ett enkelt sammanhängande område är konservativt. Vi har sedan antagit att vi kan skriva $$ \begin{equation} \vec{F} = - \vnabla \phi, \label{_auto2} \end{equation} $$ där \( \phi \) kallas för det konservativa fältets potential. Gäller då $$ \vnabla \times \vec{F} = 0 \, \Longleftrightarrow \, \vec{F} = - \vnabla \phi \, ?? $$ Nej, det har vi ännu inte visat! Vi har att \( \vec{F} = - \vnabla \phi \, \Rightarrow \, \vnabla \times \vec{F} = 0 \, \Rightarrow \, \oint_C \vec{F}\cdot \mbox{d}\vec{r} = 0 \) eftersom \( \vnabla \times ( \vnabla \phi) = 0 \) (se nedan), men det omvända gäller inte per automatik. Vi har ännu inte visat att konservativa fält alltid kan skrivas som \( -\vnabla \phi \).

Definitionen av ett konservativt fält gör dock att vi kan hitta en potential från $$ \begin{equation} \int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2} \vec{F} \cdot \mbox{d} \vec{r} = \phi\left( \vec{r}_1 \right) - \phi\left( \vec{r}_2 \right) = - \int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2} \mbox{d} \phi. \label{_auto3} \end{equation} $$ Notera tecknet på potentialskillnaden i HL. Det hade gått lika bra med det omvända, men just denna konvention stämmer överens med energitolkningen i klassisk mekanik.

Vi ser nu att förändringen av potentialen mellan punkterna \( \vec{r} \) och \( \vec{r} + \mbox{d}\vec{r} \) är $$ \begin{equation} \mbox{d}\phi = -\vec{F}\cdot \mbox{d}\vec{r}, \label{_auto4} \end{equation} $$ men denna förändring kan också skrivas som $$ \begin{equation} \mbox{d}\phi = \vnabla \phi \cdot \mbox{d}\vec{r}. \label{_auto5} \end{equation} $$ Det följer därmed att det finns en potential \( \phi \) så att det konservativa fältet \( \vec{F} \) kan skrivas $$ \begin{equation} \vec{F} = -\vnabla \phi. \label{_auto6} \end{equation} $$ Faktum är att \( \phi \) inte är entydigt bestämd. Man kan skapa en ny potential genom att addera en konstant till en potential: \( \phi \mapsto \phi + \phi_0 \).

Poissons och Laplaces ekvationer

Konservativa vektorfält är alltså rotationsfria, men de kan fortfarande ha nollskild divergens. Denna kallas ofta för källtäthet $$ \begin{equation} \rho(\vec{r}) = \vnabla \cdot \vec{F}. \label{_auto9} \end{equation} $$

Med \( \vec{F} = -\vnabla \phi \) får vi Poissons ekvation $$ \begin{equation} \vnabla \cdot \vnabla \phi(\vec{r}) = \Delta \phi(\vec{r}) = -\rho(\vec{r}), \label{_auto10} \end{equation} $$ vilket alltså ger potentialen på differentialform.

Specialfallet av denna ekvation utan källa, dvs divergensfritt, ger Laplaces ekvation $$ \begin{equation} \Delta \phi(\vec{r}) = 0. \label{_auto11} \end{equation} $$ Kom ihåg att \( \Delta \) är Laplacianen vilken kan skrivas $$ \begin{equation} \Delta \phi = \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right) \phi, \label{_auto12} \end{equation} $$ i Cartesiska koordinater. Den ser annorlunda ut i kroklinjiga koordinatsystem.

Notera att Poissons och Laplaces ekvationer är exempel på differentialekvationer. För att lösa dessa i ett område behöver man också veta randvillkor för fältet \( \phi \).

Vi kommer t.ex. se att (ett stationärt) temperaturfält uppfyller någon av dessa ekvationer (Laplaces ekvation om det inte finns en värmekälla). För att t.ex. räkna ut temperaturfältet inuti ett värmeisolerande fönster behöver vi veta randvillkor för fältet på glasets in- och utsida.

Olika tekniker för lösning av dessa ekvationer presenteras i kapitel 9.

Divergensfria fält

Kan man erhålla divergensfria fält från någon potential på liknande sätt som vi just gjorde för rotationsfria fält?

Vi betraktar ett divergensfritt fält \( \vec{G} \) $$ \vnabla \cdot \vec{G} = 0, $$ och nöjer oss med att konstatera att divergensfriheten uppenbarligen uppfylls om fältet kan skrivas $$ \begin{equation} \vec{G} = \vnabla \times \vec{A}. \label{_auto13} \end{equation} $$

(Kommentar 2: Visa detta om ni är osäkra.

Gärna med indexnotation. $$ \vnabla \cdot (\vnabla \times \vec{A}) = \partial_i \epsilon_{ijk} \partial_j A_k, $$ Vilket är en summa med 27 termer, vara sex är nollskilda och dessa tar ut varandra parvis.

Alternativt med Stokes och Gauss satser: Betrakta volymsintegralen av \( \vnabla \cdot \vec{G} \), och beräkna normalytintegralen av \( \vec{G} = \vnabla \times \vec{A} \) över randytan genom att dela upp den i två delar och applicera Stokes sats på varje del. Notera att dessa två ytor kommer att ha samma rand, men motsatt riktning. Slutsatsen blir att \( \vnabla \cdot \vec{G} = 0 \).)

Vektorfältet \( \vec{A} \) kallas då för en vektorpotential.

Vi fann tidigare att skalära potentialer hade en invarians genom att vi kunde addera en konstant term \( \phi \mapsto \phi + \phi_0 \) utan att ändra fältstyrkan.

På samma sätt har vektorpotentialen en invarians $$ \begin{equation} \vec{A}(\vec{r}) \mapsto \vec{A}(\vec{r}) + \vnabla \Lambda(\vec{r}), \label{_auto14} \end{equation} $$ där \( \Lambda \) kallas för en Gaugeparameter och invariansen kallas för Gaugeinvarians.

Rotationen kallas ofta för virveltäthet $$ \vnabla \times \vec{G} = \vec{j} \quad \Rightarrow \vnabla \times (\vnabla \times \vec{A}) = \vec{j}. $$ Vi använder sambandet \( \vnabla \times \left( \vnabla \times \vec{A} \right) = \vnabla \left( \vnabla \cdot \vec{A} \right) - \Delta \vec{A} \) vilket alltså ger $$ \Delta \vec{A} - \vnabla \left( \vnabla \cdot \vec{A} \right) = -\vec{j}. $$ Genom att välja Gaugeparametern så att \( \vnabla \cdot \vec{A} = 0 \) får vi Poissons ekvation för vektorpotentialen $$ \begin{equation} \Delta \vec{A} = -\vec{j}. \label{_auto15} \end{equation} $$

Potentialer för godtyckliga vektorfält

• Betrakta ett fält med både källor och virvlar, dvs \( \vnabla \cdot \vec{H} = \rho \neq 0 \) och \( \vnabla \times \vec{H} = \vec{j} \neq 0 \).
• Detta allmänna vektorfält kan vi dela upp i två delar \( \vec{H} = \vec{F} + \vec{G} \) där

$$ \begin{align} \vnabla \cdot \vec{F} &= \rho \quad &\vnabla \cdot \vec{G} &= 0 \label{_auto16}\\ \vnabla \times \vec{F} &= 0 \quad &\vnabla \times \vec{G} &= \vec{j} \label{_auto17} \end{align} $$

• Dvs, fältet \( \vec{H} \) kan skrivas som summan av ett rotationsfritt fält \( \vec{F} \) och ett divergensfritt fält \( \vec{G} \) som representeras av potentialerna \( \phi \) och \( \vec{A} \).

$$ \vec{H} = \vec{F} + \vec{G} = -\vnabla \phi + \vnabla \times \vec{A}. $$

Standardexempel på käll- och virvelfördelningar

Punktkälla med styrkan \( q \) i origo

• vektorfält

$$ \vec F=\frac{q}{4\pi r^2}\hat r. $$

• rotationsfritt, men med en källa \( \rho=q\delta^3(\vec{r}) \). Fältet har en potential

$$ \phi=\frac{q}{4\pi r}, $$ som uppfyller Poissons ekvation med källan \( \rho=q\delta^3(\vec{r}) \), $$ \Delta\phi=-q\delta^3(\vec{r}). $$

Linjekälla på \( z \)-axeln med konstant styrka \( k \)

• vektorfält

$$ \vec F=\frac{k}{2\pi\varrho}\hat\varrho $$

• Motsvarande potential är

$$ \phi=-\frac{k}{2\pi}\log\frac{\varrho}{\varrho_0}, $$

• Potentialen uppfyller Poissons ekvation:

$$ \Delta\phi=-k\delta^2(\vec{\varrho}). $$

Virveltråd på \( z \)-axeln med styrka \( J \)

• fältet

$$ \vec G=\frac{J}{2\pi\varrho}\hat\varphi. $$

• Vektorpotentialen är (t.ex., med tanke på gaugeinvarians)

$$ \vec A=-\frac{J\hat z}{2\pi}\log\frac{\varrho}{\varrho_0}, $$ (kontrollera; \( \vnabla\times\vec A \) i cylindriska koordinater) $$ \vnabla\times\vec A=\frac{1}{\varrho} \begin{vmatrix} \hat\varrho & \varrho\hat\varphi & \hat z \\ \frac{\partial}{\partial \varrho} & \frac{\partial}{\partial \varphi} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0\mbox{} & 0\mbox{} & -\frac{J}{2\pi}\log\varrho \\ \end{vmatrix} =\frac{J}{2\pi\varrho}\hat\varphi. $$

• Notera att denna vektorpotential uppfyller \( \vnabla\cdot\vec A=0 \), och därför ges virvelfördelningen av

$$ \vnabla \times \vec{G} = \vec{\jmath} = -\Delta\vec A. $$

• Poissons ekvation,

$$ \Delta\vec A=-J\hat z\delta^2(\vec{\varrho}). $$

Randvärdesproblem

En lösning av t.ex. Laplaces ekvation \( \Delta \phi = 0 \) ger upphov till integrationskonstanter. För att entydigt bestämma lösningen behövs därför randvillkor för fältet.

Exempel: Lösningar till Laplaces ekvation

---

Figure 1: Lösningen (\( \phi = xy \)) till Laplaces ekvation i två dimensioner på ett kvadratiskt område med randvillkor enligt figuren.

---

Figure 2: Lösningen (\( \phi = x^2 - y^2 \)) till Laplaces ekvation i två dimensioner på ett cirkulärt område med vinkelberoende randvillkor enligt figuren.

Två exempel på lösningar till Laplaces ekvation i ett område med givna randvillkor visas i figurerna 1 och 2.

• Vårt randvärdesproblem består av den partiella differentialekvationen \( \Delta\phi=-\rho \) samt några randvillkor.
• Vilka randvillkor ger en unik lösning? Eller hur skall "bra" randvillkor formuleras?
• Antag att \( \phi_1 \) och \( \phi_2 \) båda är lösningar.
• \( \psi=\phi_1-\phi_2 \), uppfyller Laplaces ekvation, \( \Delta\psi=0 \).
• En trivial lösning, \( \psi=\mathrm{konstant} \), innebär att lösningen till Poissons ekvation är unik.

(Comment 3: Eftersom \( \phi_1 \) och \( \phi_2 \) ger samma vektorfält om de enbart skiljer på en konstant.)

Betrakta nu identiteten $$ \vnabla\cdot(\psi\vnabla\psi)=\vnabla\psi\cdot\vnabla\psi+\psi\Delta\psi =\vnabla\psi\cdot\vnabla\psi=|\vnabla\psi|^2, $$ som gäller när \( \Delta\psi=0 \). Tillämpa nu Gauss sats på vektorfältet \( \psi\vnabla\psi \). $$ \int_{\partial V}\psi\vnabla\psi\cdot d\vec S = \int_V \vnabla\cdot(\psi\vnabla\psi) dV = \int_V|\vnabla\psi|^2dV. $$

• HL är positivt semidefinit, och noll endast om \( \psi = \mathrm{konstant} \).
• Randvillkor som gör VL till noll innebär därför det vi vill.

Ytintegralen i VL är $$ \int_{\partial V}\psi(\vnabla\psi\cdot\hat n)dS. $$ Två faktorer i integranden: \( \psi \) och \( \vnabla\psi\cdot\hat n \).

(Comment 4: Den andra faktorn är "normalderivatan" vid randen, alltså riktningsderivatan i normalens riktning.)

(Comment 5: Lösningen till Laplaces ekvation är trivial (konstant) om den ena eller den andra är noll på randen.)

Dirichlets randvillkor:

$$ \psi = 0 \mathrm{~på~} \partial V \quad \Rightarrow \quad \psi = 0 \mathrm{~i~} V $$ Detta ger att lösningen \( \phi_1 = \phi_2 \) på randen, dvs $$ \phi|_{\partial V}=f, $$ där \( f \) är en funktion på randen

Neumanns randvillkor:

$$ (\vnabla\psi) \cdot \hat n=0 \mathrm{~på~} \partial V \quad \Rightarrow \quad \psi = \mathrm{konstant} \mathrm{~i~} V $$ Detta ger att \( (\vnabla\phi_1) \cdot \hat n=(\vnabla\phi_2) \cdot \hat n \) på randen, dvs $$ (\vnabla\phi)|_{\partial V}\cdot\hat n=g, $$ där \( g \) är en funktion på randen.

Sammanfattning:

Poissons ekvation i volymen \( V \) med någon källfördelning \( \rho \) har en unik lösning (sånär som på en ointressant konstant) för dessa två typer av randvillkor.