I de cylindriska koordinaterna \( \rho, \phi, z \) kan vi skriva ortsvektorn som \( \vec{r} = \rho\cos \phi \hat{x} + \rho\sin \phi \hat{y} + z \hat{z} \).

Koordinatytorna för \( \rho, \phi, z \) är då en cylinder med \( z \)-axeln som symmetriaxel och med radien \( \rho \), ett plan som utgår från \( z \)-axeln och bildar en vinkel \( \phi \) med \( x \)-axeln, samt ett plan parallellt med \( xy \)-planet och med \( z \)-koordinaten \( z \).

Koordinatlinjerna för \( \rho, \phi, z \) blir då en stråle som utgår från \( z \)-axeln och bildar vinkeln \( \phi \) med \( x \)-axeln, en cirkel med radien \( \rho \) och en linje parallell med \( z \)-axeln.

I cylindriska koordinater är \( \vec{r} = (\rho\cos \phi, \rho\sin \phi, z) \). Vi kan då beräkna $$ \begin{align} \frac{\partial \vec{r}}{\partial \rho} &= \left(\cos \phi, \sin \phi, 0\right), \label{_auto6}\\ \frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi} &= \left(-\rho \sin\phi, \rho \cos \phi, 0\right), \label{_auto7}\\ \frac{\partial \vec{r}}{\partial z} &= \left(0,0,1\right). \label{_auto8} \end{align} $$ Skalfaktorerna blir då $$ \begin{align} h_\rho &= \left(\cos^2\phi + \sin^2\phi\right)^{1/2} = 1, \label{_auto9}\\ h_\phi &= \left(\rho^2 \cos^2\phi + \rho^2 \sin^2\phi\right)^{1/2} = \rho, \label{_auto10}\\ h_z &= 1. \label{_auto11} \end{align} $$ Enhetsvektorerna blir $$ \begin{align} \hat{\rho} &= \left(\cos\phi, \sin\phi,0\right), \label{_auto12}\\ \hat{\phi} &= \left(-\sin\phi, \cos\phi,0\right), \label{_auto13}\\ \hat{z} &= \left(0,0,1\right). \label{_auto14} \end{align} $$ Förskjutningsvektorn kan då skrivas som $$ \begin{equation} \mbox{d}\vec{r} = \hat{\rho} \mbox{d}\rho + \rho \hat{\phi} \mbox{d} \phi + \hat{z} \mbox{d}z. \label{_auto15} \end{equation} $$

Bågelementet i cylindriska koordinater blir $$ \begin{equation} \mbox{d}s^2 = \mbox{d}\rho^2 + \rho^2\mbox{d}\theta^2 + \mbox{d}z^2. \label{_auto21} \end{equation} $$ Ett ytelement på \( \rho \)-ytan skrives $$ \begin{equation} \mbox{d}\vec{S}_\rho = \hat{e}_\rho \rho \mbox{d}\phi\mbox{d}z, \label{_auto22} \end{equation} $$ på \( \phi \)-ytan $$ \begin{equation} \mbox{d}\vec{S}_\phi = \hat{e}_\phi \mbox{d}\rho\mbox{z} \label{_auto23} \end{equation} $$ och på \( z \)-ytan $$ \begin{equation} \mbox{d}\vec{S}_z = \hat{e}_z \rho\mbox{d}\rho \mbox{d}\phi. \label{_auto24} \end{equation} $$ Volymelementet kan vi skriva som $$ \begin{equation} \mbox{d}V = \rho\mbox{d}\rho \mbox{d}\phi\mbox{d}z. \label{_auto25} \end{equation} $$

Ett skalärfält är givet i Cartesiska koordinater $$ \begin{equation} \beta = x^2 + y^2. \label{_auto31} \end{equation} $$ Motsvarande skalärfält i plana polärkoordinater blir $$ \begin{equation} \beta = r^2\cos^2\theta + r^2 \sin^2\theta = r^2. \label{_auto32} \end{equation} $$ Gradienten i Cartesiska koordinater blir $$ \begin{equation} \vnabla \beta = \hat{x} \partial_x \beta + \hat{y} \partial_y \beta = 2 (x \hat{x} + y \hat{y}). \label{_auto33} \end{equation} $$ Medan i plana polärkoordinater blir den $$ \begin{equation} \vnabla \beta = \hat{e}_r \partial_r + \hat{e}_\theta \frac{1}{r} \partial_\theta \beta = 2 r \hat{e}_r. \label{_auto34} \end{equation} $$ Eftersom \( x \hat{x} + y \hat{y} = r \hat{e}_r \) är det uppenbart att detta är samma vektor!

För vilka värden på \( \alpha,\beta,\gamma \) har det tvådimensionella koordinatsystemet med koordinater \( \xi \) och \( \eta \), givna av $$ \begin{align} \xi &= x^2 - y^2 \label{_auto35}\\ \eta &= \alpha x^2 + \beta x y + \gamma y^2 \label{_auto36} \end{align} $$ ortogonala basvektorer?

Lösning

• \( \hat{e}_i \propto \frac{\partial \vec{r}}{\partial u_i} \)
• \( \hat{e}_i \propto \vnabla u_i \)

Det andra sättet kräver istället \( \frac{\partial \xi}{\partial x} \) och \( \frac{\partial \xi}{\partial y} \) (samt motsvarande för \( \eta \)) och detta blir enkelt med de givna koordinattransformationerna. Vi får $$ \begin{align} \vnabla \xi &= 2x \hat{x} - 2y \hat{y} \label{_auto37}\\ \vnabla \eta &= (2 \alpha x + \beta y)\hat{x} + (\beta x + 2 \gamma y) \hat{y} \label{_auto38} \end{align} $$ För att koordinatsystemet skall vara ortogonalt behöver vi $$ \begin{equation} \hat{e}_\xi \cdot \hat{e}_\eta = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \vnabla \xi \cdot \vnabla \eta=0. \label{_auto39} \end{equation} $$ Från uttrycken för dessa gradienter ovan får vi $$ \begin{equation} \vnabla \xi \cdot \vnabla \eta = 2x (2 \alpha x + \beta y) - 2 y (\beta x + 2 \gamma y) = 4 \alpha x^2 - 4 \gamma y^2. \label{_auto40} \end{equation} $$ För att få \( \vnabla \xi \cdot \vnabla \eta=0 \) måste vi ha \( \alpha = \gamma = 0 \), medan \( \beta \) är godtyckligt.

import numpy as np
import pylab as p

# Make an x,y grid
grid = np.linspace(-4,4,100)
x, y = np.meshgrid(grid,grid)
# and the 2D fields
xi = x**2 - y**2
eta = x * y

p.figure(figsize=(6,6))
CS = p.contour(x,y,xi,5,colors='k')
p.clabel(CS, inline=1, fontsize=10)
p.text(0.5,1.3,r'$\xi$-yta',color='k',rotation=45)
CS = p.contour(x,y,eta,5,colors='r')
p.clabel(CS, inline=1, fontsize=10)
p.text(1,0.05,r'$\eta$-yta',color='r')
p.xlabel(r'$x$')
p.ylabel(r'$y$')

Låt oss konstruera och rita fältlinjerna till en så kallad virveltråd $$ \begin{equation} \vec F = \frac{J}{2\pi\rho} \hat{\varphi}, \label{_auto41} \end{equation} $$ som alltså är uttryckt i cylindriska koordinater. Notera att detta fält är singulärt längs hela \( z \)-axeln vid \( \rho=0 \), men vi kommer här enbart att betrakta \( \rho > 0 \).

Lösning

• Det första alternativet är förstås att finna ett explicit uttryck för fältlinjerna genom att formulera och lösa differentialekvationerna. Sedan kan vi definiera dessa kurvor som en funktion i Matlab (eller Python) och rita upp dem explicit för några olika startpunkter.
• Det andra alternativt är att utnyttja funktionen 'streamline' i Matlab ('streamplot i Python) och mata in vektorfältet på ett rutnät av olika koordinatpunkter. Notera dock att detta alternativ bygger på att vi transformerar till ett Cartesiskt koordinatsystem.

Vi kan teckna ekvationen för fältlinjerna i Cartesiska koordinater som sambandet \( x^2+y^2 = \rho_0^2 \) och rita upp dessa för några olika val av \( \rho_0 \). I figuren nedan är fältlinjerna ritade som funktioner \( y = \pm \sqrt{\rho_0^2 - x^2} \) för \( \rho_0 = 1,1.5,2,2.5,3 \).

Nu tittar vi på det andra alternativet och använder tillgänglig funktionalitet i Matlab (eller Python). Här krävs dock att vektorfältets Cartesiska komponenter räknas ut. Från transformationen mellan cylindriska och Cartesiska koordinater ser vi direkt att $$ \begin{equation*} \frac{2\pi}{J} \vec{F} = \frac{1}{\rho} \hat\varphi = \frac{1}{\rho} \left( -\sin\varphi \hat{x} + \cos\varphi \hat y \right). \end{equation*} $$ Koordinaterna är relaterade enligt \( \rho^2 = x^2+y^2 \) och \( \cos\varphi = x/\rho \), \( \sin\varphi = y/\rho \), vilket ger $$ \begin{equation*} \frac{2\pi}{J} \vec{F} = \frac{1}{x^2+y^2} \left( -y \hat{x} + x \hat y \right). \end{equation*} $$

I både Matlab och Python kan vi skapa ett rutnät av \( x,y \)-koordinater och tillhörande \( F_x,F_y \) komponenter som vi sedan ritar med 'streamline' ('streamplot' i Python). Se nedan för kod och figur med Matlab:

% Make an x,y grid
[X,Y] = ndgrid(linspace(-2.5,2.5,100),linspace(-2.5,2.5,100));
R=sqrt(X.^2+Y.^2);

% Plot streamlines for corresponding vector field
v_x = - Y ./ R.^2; % Note that -Y/R = -sin(phi)
v_y = X ./ R.^2;   % Note that X/R = cos(phi)

% In Matlab we have to provide start points for streamlines.
start1_y=-2.0:0.5:-0.5;
start_y=[start1_y, -start1_y];
start_x=[zeros(size(start_y))];

% Fine tuning might be needed to get a nice set of streamlines.
strm=streamline(X', Y', v_x', v_y', start_x, start_y,[0.01]);
set(strm,'LineWidth',2,'Color','k')

hold on

% Matlab streamlines have no arrows. Combine with quiver.
% Use fewer grid points to avoid too many arrows in the plot.
[Xc,Yc] = ndgrid(linspace(-3,3,10),linspace(-3,3,10));
Rc=sqrt(Xc.^2+Yc.^2);
v_xc = - Yc ./ Rc.^2; % Note that -Y/R = -sin(phi)
v_yc = Xc ./ Rc.^2;   % Note that X/R = cos(phi)
qvr=quiver(Xc', Yc', v_xc', v_yc','Color','k');

xlabel('x')
ylabel('y')
xlim([-2.5,2.5])
ylim([-2.5,2.5])

Och samma exempel med Python:

import sys
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

w = 3
Y, X = np.mgrid[-w:w:100j, -w:w:100j]
R = np.sqrt(X**2+Y**2)
U = -Y / R**2 # Note that -Y/R = -sin(phi)
V = X / R**2  # Note that X/R = cos(phi)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)

strm = ax.streamplot(X, Y, U, V, linewidth=2)

ax.set_title(r'Streamplot, vortex field ' +\ 
        r'$\vec{F} = \frac{J}{2\pi\rho}\hat\varphi$')
ax.set_xlabel('$x$')
ax.set_ylabel('$y$')

ax.set_aspect('equal')

plt.savefig('streamlines-vortex.png')